⭐ ریاضی عمومی ۲ به زبون آدمیزاد | فصل هفتم (میدان برداری) — رایگان

کامل‌ترین، خودمونی‌ترین و کم‌استرس‌ترین توضیحات میدان‌های برداری برای دانشجوهای عزیز 😄

🔥 مقدمه آدمیزادی فصل هفتم

وقتی وارد فصل ۷ میشیم، جهان ریاضی از «تابع‌های ساده» وارد «میدان‌ها» میشه.
یعنی از اینجا به بعد دیگه هر x و y یه عدد نیست… یه «جهت» هم دارن! 😄

این فصل، پایه‌ی فیزیک، الکترومغناطیس، مکانیک سیالات، گرما، گرانش، هوش مصنوعی و پردازش تصویره.
خلاصه: هر جا نیرو، جریان، شیب، گرادیان یا حرکت هست = پای میدان برداری در میونه.

و این جزوه کاری کرده که:

کرل رو با حس چرخش آب در سینک بفهمی

دیورژانس رو با حس پف کردن باد و جمع شدن هوا درک کنی

میدان پتانسیل رو مثل «نقشه‌ی انرژی» حس کنی

و لاپلاسین و تابع هارمونیک رو مثل چیزهای عجیب‌غریب نبینی 😄

همه‌چی آدمیزادی، منظم، و قابل هضم.

📘 سرفصل‌های کامل ریاضی عمومی دو به زبون آدمیزاد فصل هفتم | میدان برداری :

📌 ۱. میدان برداری

🔸 میدان برداری یعنی چی؟

🔸 فرق میدان با بقیه تابع‌ها

🔸 مشتق‌پذیری و پیوستگی میدان برداری

📌 ۲. میدان پتانسیل

چی هست؟

چطور از روی میدان، پتانسیل پیدا می‌کنیم؟

شرط‌های لازم برای اینکه یک میدان «پتانسیل‌دار» باشه.

📌 ۳. کرل (Curl)

معنی فیزیکی کرل

کرل = میزان چرخش و گردبادی بودن میدان

تفسیر شهودی + مثال واقعی

📌 ۴. دیورژانس (Divergence)

معنی فیزیکی دیورژانس

چطور می‌فهمیم میدان پخش‌کنندگی داره یا جمع‌شوندگی؟

مثال‌های مفهومی و عددی

📌 ۵. لاپلاسین (Laplacian)

ارتباط لاپلاسین با دیورژانس

اینکه چرا لاپلاسین معیار «پخشی بودن» یک تابعه

🔹 تابع هارمونیک

تعریف آدمیزادی

چرا Δf = 0 مهمه؟

چه‌طور می‌فهمیم تابعی هارمونیکه؟

🎯 دلیل محبوبیت جزوه ریاضی عمومی2 به زبون آدمیزاد چیه؟

لحنِ خودمونی و رفیق‌مآب: بهت مثل دوست صمیمی توضیح میدم؛ شوخی‌های حساب‌شده، مثال‌های ملموسِ زندگیِ دانشجویی، و جمله‌هایی که مغزت رو آگاه نگه می‌دارن.

از پایه تا کاربرد: این جزوه تست‌محور نیست؛ مباحث رو از صفر توضیح میده، با مثال‌های عددی و تصویری تا حس کنی موضوعو نه فقط حفظ.

پرتقاضا و آکادمیک: محتوا طوری طراحی شده که اساتید دانشگاه به‌عنوان منبع یا مرجع جزوه ازش استفاده می‌کنن و دانشجوها برای امتحان پایان‌ترم، ترم، ارشد و حتی مرور برای کنکور ازش بهره می‌برن.

قابل استفاده برای دانشگاه و آزمون‌ها: مثال‌ها و توضیحات طوریه که می‌تونید با ذکر منبع ازش در کلاس یا پروژه استفاده کنید؛ هم برای حل تمرینات کلاسی و هم برای سوالات سطح بالاتر مفیده.

فرمت دوستانه و قابل پرینت: فایل PDF کم‌حجم، به‌راحتی قابل دانلود و چاپ؛ صفحه‌بندی مرتب برای پرینت و مطالعهٔ صفحه‌به‌صفحه.

مثال‌های تصویری و عددی + شوخی: هر مبحث با چند مثال عددی و حداقل یکی-دو نمودار توضیح داده شده؛ تو متن جملات خودمونی و کمی طنز برای کم کردن استرسِ درس‌خوانی هست.

🎯 توضیح‌های آدمیزادی و مختصر — مخصوص هر بخش

🌱 میدان برداری چیه؟

به‌جای اینکه هر نقطه‌ی فضا فقط یه عدد بده، یه بردار میده.
یعنی مقدار + جهت.

مثل:

میدان باد

میدان الکتریکی

میدان مغناطیسی

جریان آب

شیب زمین

این‌ها فقط «چقدر» نیستن؛ «به کدوم سمت» هم هستن.

🌱 فرق میدان برداری با تابع‌های قبلی؟

تو تابع‌های اسکالر فقط یه خروجی داری (قدرت، دما، ارتفاع…).
تو میدان برداری خروجی دوتا یا سه‌تا مؤلفه است. «خروجی‌اش یک برداره.»

🌱 میدان پتانسیل یعنی چی؟

یعنی پشت این میدان، یک تابع اسکالر قایم شده که اگه ازش گرادیان بگیری همون میدان رو میده.

فیزیکی:
پتانسیل = نقشه انرژی
میدان = جهت حرکت انرژی

اگر میدان از یک پتانسیل بیاد ⇒ بی‌چرخشه و محافظه‌کاره.

🌱 کرل = میزان چرخش

مثل اینکه دستتو تو آب سینک بچرخونی و آب دورش بگرده.
کرل = شدت اون گرداب.

فرمول داره، ولی مفهومش کاملاً حسی و فیزیکیه.

🌱 دیورژانس = میزان پخش شدن

تصور کن باد از یک نقطه پخش میشه → دیورژانس مثبت
هوا جمع میشه → دیورژانس منفی
هیچی پخش‌/جمع نشه → دیورژانس صفر

به زبان ساده:
دیورژانس میگه میدان چقدر «بادکنکی» یا «جذب‌کننده» است.

🌱 لاپلاسین = دیورژانسِ گرادیان

یه معیار برای اینکه تابع اسکالر چقدر تمایل به پخش شدن داره.
یه ترکیب خیلی مهم:

Δf = div(grad f)

🌱 تابع هارمونیک

تابعی است که لاپلاسینش صفره:
Δf = 0

این یعنی تابع نه پخش‌کنندگی داره نه جمع‌کنندگی؛
یه «وضعیت تعادل کامل».